DokümanlarMatematik

İntegrallerin Hesaplama Yöntemleri

III. İNTEGRALLERİN HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

III.1.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ

III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden

Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali

(Yarım Açı Metodu)

P(x,y), Q(x,y), x ve y’bir polinom olmak üzere

 

I.1 R (x,y), x veya y’li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur.

Trigonometriden  sinx=            ,  cosx=    olduğu biliniyor.

R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere

∫R (sinx,cosx) dx  integrali  u = tan  değişken dönüştürme ile R , u’nun  rasyonel fonksiyonu

Olmak üzere ∫R,(u )du şekline dönüşür.

Gerçekten                               x     = 2Arctonu

dx   =

 

sinx   =

Tan

COSX  =     

eşitlikleri kullanılarak  ∫R(sinx , cosx) dx  integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüşmüş olur.

I.2.  ∫sinax.coobxdx,    ∫sinax.sinbxdx , ∫cosax coobx şeklinde integraller

Bu integrali almak için

Sinax . Sinbx   =   [cos(a-b)x- cos (a+b)x]

sinax . cosbx =  [ sin(a-b)x – sin (a+b)x]

Sinax .  cosbx =  [cos (a-b)x- cos(a+b)x]

I .3.Sinx ve coox Cinsinden Bir Polinomun İntegrali

Bu integraller, a ve b pozitif tam sayı olmak üzere ∫ şeklindeki terimleri ihtiva ederler. Bu tür integrallerin alınmasında üç durumdan söz edilebilir. Bunlar a ve b’nin  ikisininde tek olma, birinin tek birinin çift olma ve ikisininde çift olma durumudur, Bunları tek tek inceliyelim.

  1. a ve b’nin Tek olma Durumu

∫ şeklindeki integralde a ve b tek ise bu integral rasyonel bir fonksiyon olmak üzere

∫R(sinx)cosxdx veya ∫R(cosx)sinxdx şekline dönüşür. Bu durumda sırayla sinx = t ve cos

x = t  değişken değiştirmesi yapılır. Bunu biraz daha açıklayalım a ve b ikiside tek ise p,q € N

olmak üzere a = 2p +1, b = 2q + 1 olur.

∫ = ∫ = ∫ sinxdx

= ∫ ()p cos 2q+1 xdx = ∫r(cosx)sinxdx

veya

∫ = ∫  = ∫,

=∫ xcosxdx = ∫R(sinx)cosxdx

Uyarı!  sinax. coobx dx integralinde a ve b’ nin ikiside tek olduğu zaman küçük olanı parçalamak, daha kısa yoldan integralin alınmasını sağlar.

  1. b) a ve b’ den birinin tek birinin çift olma durumu

Bu durumda ave b’den hangisi tek ise onun için a b’ nin tek olma durumunda kullanılan yol takip edilir.

C ) a ve b’nin çift olma durumu

Bu durumda p’q’ € N olmak üzere a=2a , b=2q olur.

Sinaxcosbxdx = sin2p cos2qxdx = (sin2x)p . cos2x)q dx olur.

Bu integrali almak için;

=  ,  = eşitliklerinden faydalanabilir.

I.4.D ∫f(sinx,  coox)dx Şeklindeki İntegraller İçin Özel Metodlar

∫R (sinx, coox )dx şeklindeki integrallerin alınmasında integrand rasyonel ise yarım açı metodu daima kullanılabilir. Fakat bazı durumlarda bu dönüşüm çok karmaşık rasyonel fonksiyonların integrallerini götürür. Onun için bu integralleri sonuca hemen götürecek özel metotlardan faydalanılacaktır. Bunlardan bazılarını açıklayalım.

  1. ∫g (sinx,)coox dx veya ∫g (coox) sinxdx şeklindeki İntegraller

ℓ(sinx, coox) ifadesi, sinx, in üssü pozitif ve tek ise  bu ifade g(coox)sinx şekline, coox’in üssü pozitif ve tek ise g(sinx) coox şekline getirebilir.Bu durumda sırayla sinx=t, coox=t değişken değiştirmesi yapılarak integral alınır.

    b)∫R(tanx)dx veya ∫R(cotonx)dx Şeklindeki İntegraller

f(sinx,coox) ifadesi  R(tanx) ve  R(cotonx) şekline getirilebiliyorsa sırasıyla tanx=t veya  coton

x=t değişken değiştirmesi uygun olur.

  1. c) ∫R(sinx,coox)dx integral inde sinx ve coox’in üssünün çift olma hali

sinx ve coox’in üssü çift olduğu zaman tonx =t değişken değiştirmesi yapmak uygun olur.

  1. d) tanpx.secqx dx şeklindeki integraller

p nin pozitif  tek sayı olma durumu

p=2n+1  (n€N) olsun. Bu takdirde

∫   = ∫   = ∫ elde edilir.                      eşitliği dikkatle alınırsa

∫()tanx = ∫().  x.tanx.secxdx = ∫ℓ(secx)tanxsexdx elde edilir

secx = u değişken değiştirmesi yapılırsa tansecx= du olur. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa verilen integral

∫ = ∫ d(). du şekline dönüşür.

q’nun Pozitif Çift Olma Hali

q=2a (a € N+) olsun . Bu durumda

∫  ()dx = ∫ tanpx xdx=∫tanpxd

∫ tanpx()= ∫tanpx(1+tan2x). = f(tanx) elde edilir. tanx=u

değişken değiştirmesi yapılırsa sec2xdx = du olur.

Bu değerler yukarıda kullanılırsa

∫Tanpxsecqxdx= ∫f(u)du şekline dönüşülür.

  1. e) ∫  integralinde a+b’nin Negatif ve çift sayı olma hali

Çift sayı olma hali

A+b=-2p (p € N+) olsun. Bu durumda verilen integral

∫,  = ∫.

∫tannx   dx = ∫tann x ()pdx=∫ tannx(1+tan2x)pdx şekline girer . tanx = t değişken değiştirmesi yapılırsa

 

= .  = ∫ şekline dönüşür.

 

  1. f) ∫dx Şeklindeki İntegraller

Bu tür integrallerde trigonometrik özdeşliklerden istifade edilecek kök dışına çıkarılmalıdır.Bu yapılamıyorsa uygun değişken değiştirme aranmalıdır.

III.1.2 ∫sinax.sinbxdx, ∫sinax.cosbxdx, ∫cosox.cosbxdx

1)∫cos4xcos3xdx      integralini hesaplayınız.

∫cos4xcos3xdx = ∫ (cos7x+cosx)dx

=

=  

2)∫. integralini hesaplayınız.

∫ ∫

=  

=

=

3) ∫sinx, sin3xdx integrallerini hesaplayınız.

=∫sinx,sin3xdx = ∫[cos2x-cos4x]dx

= 

4) ∫cos(x+b.cos(ax-b)dx integralini hesaplayınız.

=∫cos(ax+b).cos(ax-b)dx =  ∫(cos2ax + cos2b)

 

=  

 

=   

5)∫sin(1-x).cos(1-x)dxintegralini hesaplayınız.

=∫sin(1-x).cos(1-x) dx = ∫(sin(2-2x) +sinO) dx

=  

=   

6) ∫sinx.sin2x.sin3xdx   integralini hesaplayınız.

= ∫sinx.sin2x.sin3xdx = ∫

= ∫(sin2x.cos2x – sin2x.cos4x)dx

= ∫[ 

 

=  ∫(sin4x – sin6x +sin2x)dx

=  

=

7)   integralini hesaplayınız.

= ∫(

2 π

=(

8) ∫sin ( sinx) sin2xdx integralini hesaplayalım.

u=sinx          du = 2sinxcosxdx

du = sin2xdx

∫ sin ( sinx) sin2xdx =  ∫sinu.du

= -cosu + c

= -cos(sinx)+c

9) sin3xcos5xdx integralini hesaplayınız.

= sin3xcos5xdx = ∫(sin (-2x) + sin8x) dx

=

= 1 (cos4x – cos8x) = 1 [(1-1)-(1-1)] = 0

10)  sin2xcosbxdx  integralini hesaplayınız.

=  sin2xcosbxdx = [ sin8x + sin(-4x)]

=

=

=  (                                                  = 

= 0

III.1.3. ∫ sinx.cosbxdx

1)  ∫ integralini hesaplayınız.

∫cosx.sinxdx=)∫cosx.sinx.sinxdx= ∫cosx(1-cosx). sinxdx

cosx = u

-sinxdx = du olur.

=∫(cosx.sinxdx) = -∫u(1-u)du = -∫u(1-4u-6u-4u-u)du

=∫(ud-4u+6u – 4u  + u)du = 

=

2)  ∫ integralini hesaplayınız.

 

∫ = ∫

Sinx = u        →      cosxdx = du

 

∫ = ∫

= ∫

=   

=     

= 

3) ∫ integralini hesaplayınız.

Tanx = u       sinx = ,      cosx =   ,  dx=

 

∫                 = ∫   .

=∫((

=

4)  integralini hesaplayınız.

=∫ = ∫

Sinx = u        →        cosxdx = du

= ∫

=   

5)   integralini hesaplayınız..

cosx=u

∫ = -∫cos3x(1-cos2x)2du

=-∫u3(1-u2)2du=-∫

=(

=(

Not: Alıntıdır. 

Etiketler
Daha Fazla Göster

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu
Kapalı