Matematik
(sinx, coox)dx Şeklindeki İntegraller İçin Özel Metodlar, Dairesel Fonksiyonlar, İntegrallerin Hesaplama Yöntemleri, Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali, Sinx ve coox Cinsinden Bir Polinomun İntegrali, Trigonometrik Foksiyonlar, TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ, Yarım Açı Metodu
admin
0 Yorumlar
İntegrallerin Hesaplama Yöntemleri
Görüntülenme: 310
0
0
0
0
Okuma Süresi:4 Dakika, 39 Saniye
III. İNTEGRALLERİN HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
III.1.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden
Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali
(Yarım Açı Metodu)
P(x,y), Q(x,y), x ve y’bir polinom olmak üzere
I.1 R (x,y), x veya y’li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur.
Trigonometriden sinx= , cosx= olduğu biliniyor.
R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
∫R (sinx,cosx) dx integrali u = tan değişken dönüştürme ile R , u’nun rasyonel fonksiyonu
Olmak üzere ∫R,(u )du şekline dönüşür.
Gerçekten x = 2Arctonu
dx =
sinx =
Tan
COSX =
eşitlikleri kullanılarak ∫R(sinx , cosx) dx integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüşmüş olur.
I.2. ∫sinax.coobxdx, ∫sinax.sinbxdx , ∫cosax coobx şeklinde integraller
Bu integrali almak için
Sinax . Sinbx = [cos(a-b)x- cos (a+b)x]
sinax . cosbx = [ sin(a-b)x – sin (a+b)x]
Sinax . cosbx = [cos (a-b)x- cos(a+b)x]
I .3.Sinx ve coox Cinsinden Bir Polinomun İntegrali
Bu integraller, a ve b pozitif tam sayı olmak üzere ∫ şeklindeki terimleri ihtiva ederler. Bu tür integrallerin alınmasında üç durumdan söz edilebilir. Bunlar a ve b’nin ikisininde tek olma, birinin tek birinin çift olma ve ikisininde çift olma durumudur, Bunları tek tek inceliyelim.
- a ve b’nin Tek olma Durumu
∫ şeklindeki integralde a ve b tek ise bu integral rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
∫R(sinx)cosxdx veya ∫R(cosx)sinxdx şekline dönüşür. Bu durumda sırayla sinx = t ve cos
x = t değişken değiştirmesi yapılır. Bunu biraz daha açıklayalım a ve b ikiside tek ise p,q € N
olmak üzere a = 2p +1, b = 2q + 1 olur.
∫ = ∫ = ∫ sinxdx
= ∫ ()p cos 2q+1 xdx = ∫r(cosx)sinxdx
veya
∫ = ∫ = ∫,
=∫ xcosxdx = ∫R(sinx)cosxdx
Uyarı! sinax. coobx dx integralinde a ve b’ nin ikiside tek olduğu zaman küçük olanı parçalamak, daha kısa yoldan integralin alınmasını sağlar.
- b) a ve b’ den birinin tek birinin çift olma durumu
Bu durumda ave b’den hangisi tek ise onun için a b’ nin tek olma durumunda kullanılan yol takip edilir.
C ) a ve b’nin çift olma durumu
Bu durumda p’q’ € N olmak üzere a=2a , b=2q olur.
Sinaxcosbxdx = sin2p cos2qxdx = (sin2x)p . cos2x)q dx olur.
Bu integrali almak için;
= , = eşitliklerinden faydalanabilir.
I.4.D ∫f(sinx, coox)dx Şeklindeki İntegraller İçin Özel Metodlar
∫R (sinx, coox )dx şeklindeki integrallerin alınmasında integrand rasyonel ise yarım açı metodu daima kullanılabilir. Fakat bazı durumlarda bu dönüşüm çok karmaşık rasyonel fonksiyonların integrallerini götürür. Onun için bu integralleri sonuca hemen götürecek özel metotlardan faydalanılacaktır. Bunlardan bazılarını açıklayalım.
- ∫g (sinx,)coox dx veya ∫g (coox) sinxdx şeklindeki İntegraller
ℓ(sinx, coox) ifadesi, sinx, in üssü pozitif ve tek ise bu ifade g(coox)sinx şekline, coox’in üssü pozitif ve tek ise g(sinx) coox şekline getirebilir.Bu durumda sırayla sinx=t, coox=t değişken değiştirmesi yapılarak integral alınır.
b)∫R(tanx)dx veya ∫R(cotonx)dx Şeklindeki İntegraller
f(sinx,coox) ifadesi R(tanx) ve R(cotonx) şekline getirilebiliyorsa sırasıyla tanx=t veya coton
x=t değişken değiştirmesi uygun olur.
- c) ∫R(sinx,coox)dx integral inde sinx ve coox’in üssünün çift olma hali
sinx ve coox’in üssü çift olduğu zaman tonx =t değişken değiştirmesi yapmak uygun olur.
- d) tanpx.secqx dx şeklindeki integraller
p nin pozitif tek sayı olma durumu
p=2n+1 (n€N) olsun. Bu takdirde
∫ = ∫ = ∫ elde edilir. eşitliği dikkatle alınırsa
∫()tanx = ∫(). x.tanx.secxdx = ∫ℓ(secx)tanxsexdx elde edilir
secx = u değişken değiştirmesi yapılırsa tansecx= du olur. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa verilen integral
∫ = ∫ d(). du şekline dönüşür.
q’nun Pozitif Çift Olma Hali
q=2a (a € N+) olsun . Bu durumda
∫ ()dx = ∫ tanpx xdx=∫tanpxd
∫ tanpx()= ∫tanpx(1+tan2x). = f(tanx) elde edilir. tanx=u
değişken değiştirmesi yapılırsa sec2xdx = du olur.
Bu değerler yukarıda kullanılırsa
∫Tanpxsecqxdx= ∫f(u)du şekline dönüşülür.
- e) ∫ integralinde a+b’nin Negatif ve çift sayı olma hali
Çift sayı olma hali
A+b=-2p (p € N+) olsun. Bu durumda verilen integral
∫, = ∫.
∫tannx dx = ∫tann x ()pdx=∫ tannx(1+tan2x)pdx şekline girer . tanx = t değişken değiştirmesi yapılırsa
= . = ∫ şekline dönüşür.
- f) ∫dx Şeklindeki İntegraller
Bu tür integrallerde trigonometrik özdeşliklerden istifade edilecek kök dışına çıkarılmalıdır.Bu yapılamıyorsa uygun değişken değiştirme aranmalıdır.
III.1.2 ∫sinax.sinbxdx, ∫sinax.cosbxdx, ∫cosox.cosbxdx
1)∫cos4xcos3xdx integralini hesaplayınız.
∫cos4xcos3xdx = ∫ (cos7x+cosx)dx
=
=
2)∫. integralini hesaplayınız.
∫ ∫
=
=
=
3) ∫sinx, sin3xdx integrallerini hesaplayınız.
=∫sinx,sin3xdx = ∫[cos2x-cos4x]dx
=
4) ∫cos(x+b.cos(ax-b)dx integralini hesaplayınız.
=∫cos(ax+b).cos(ax-b)dx = ∫(cos2ax + cos2b)
=
=
5)∫sin(1-x).cos(1-x)dxintegralini hesaplayınız.
=∫sin(1-x).cos(1-x) dx = ∫(sin(2-2x) +sinO) dx
=
=
6) ∫sinx.sin2x.sin3xdx integralini hesaplayınız.
= ∫sinx.sin2x.sin3xdx = ∫
= ∫(sin2x.cos2x – sin2x.cos4x)dx
= ∫[
= ∫(sin4x – sin6x +sin2x)dx
=
=
7) integralini hesaplayınız.
= ∫(
2 π
=(
8) ∫sin ( sinx) sin2xdx integralini hesaplayalım.
u=sinx du = 2sinxcosxdx
du = sin2xdx
∫ sin ( sinx) sin2xdx = ∫sinu.du
= -cosu + c
= -cos(sinx)+c
9) sin3xcos5xdx integralini hesaplayınız.
= sin3xcos5xdx = ∫(sin (-2x) + sin8x) dx
=
= 1 (cos4x – cos8x) = 1 [(1-1)-(1-1)] = 0
10) sin2xcosbxdx integralini hesaplayınız.
= sin2xcosbxdx = [ sin8x + sin(-4x)]
=
=
= ( =
= 0
III.1.3. ∫ sinx.cosbxdx
1) ∫ integralini hesaplayınız.
∫cosx.sinxdx=)∫cosx.sinx.sinxdx= ∫cosx(1-cosx). sinxdx
cosx = u
-sinxdx = du olur.
=∫(cosx.sinxdx) = -∫u(1-u)du = -∫u(1-4u-6u-4u-u)du
=∫(ud-4u+6u – 4u + u)du =
=
2) ∫ integralini hesaplayınız.
∫ = ∫
Sinx = u → cosxdx = du
∫ = ∫
= ∫
=
=
=
3) ∫ integralini hesaplayınız.
Tanx = u sinx = , cosx = , dx=
∫ = ∫ .
=∫((
=
4) integralini hesaplayınız.
=∫ = ∫
Sinx = u → cosxdx = du
= ∫
=
5) integralini hesaplayınız..
cosx=u
∫ = -∫cos3x(1-cos2x)2du
=-∫u3(1-u2)2du=-∫
=(
=(
Not: Alıntıdır.
Happy
0 %
Sad
0 %
Excited
0 %
Sleepy
0 %
Angry
0 %
Surprise
0 %
Bu içeriği paylaşın:
