Bağımlı mı Bağımsız mı: Olasılıkta Hangi Formül?

Bir torbadan top çekme, zar atma veya art arda kart seçme sorularında en sık yapılan hata, iki olayın birbirini etkileyip etkilemediğini kontrol etmeden olasılıkları çarpmaktır. Bağımlı olayda ikinci adımın paydası değişir; bağımsız olayda değişmez. Bu yazı hangi soruda hangi formülün kullanılacağını ve nerede durup yeniden saymak gerektiğini adım adım ayırıyor.

Bağımlılığı ne belirler?

İki olaydan birinin gerçekleşmesi, diğerinin olasılığını değiştiriyorsa olaylar bağımlıdır. Torbadan çekilen top geri konmuyorsa ikinci çekilişteki top sayısı azalır; bu, paydanın değişmesi demektir. Zar atışı veya havaya para atışı gibi her seferinde aynı koşulla tekrarlanan deneylerde ise önceki sonuç sonrakini etkilemez. Ayrımı yapmanın en kısa yolu, “ilk adım nesneyi geri koyuyor mu?” sorusunu sormaktır.

Hangi formül: karar ağacı

• Nesne geri konuyorsa: olaylar bağımsızdır; olasılıkları doğrudan çarpın.
• Nesne geri konmuyorsa: olaylar bağımlıdır; ikinci olasılığı yeni toplam üzerinden yazın.
• Soru “ve” ile bağlanıyorsa: iki olasılığı çarpın; bağımlıysa ikinci çarpanı koşullu olasılıkla değiştirin.
• Soru “veya” ile bağlanıyorsa: olasılıkları toplayın; olaylar aynı anda olabiliyorsa kesişimi bir kez çıkarın.
• Sıra belirtiliyorsa: birinci ve ikinci adımı ayrı ayrı yazın; sıra değişince sonuç değişebilir.
• Sıra belirtilmiyorsa: istenen tüm dizilimleri sayın, sonra toplayın.

Geri koyma neyi değiştirir?

Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi top olduğunu düşünün. Topu geri koyarak çekiyorsanız ikinci çekilişte de 8 top vardır; iki kırmızı çekme olasılığı 5/8 ile 5/8’in çarpımıdır. Topu geri koymadan çekiyorsanız ikinci adımda 7 top kalır ve yalnızca 4 kırmızı vardır; olasılık 5/8 ile 4/7’nin çarpımı olur. Aynı sahne gibi görünen iki soru, tek bir cümle yüzünden farklı sonuç verir.

Koşullu olasılık ne zaman gerekir?

“Birinci topun kırmızı olduğu biliniyorsa ikincinin de kırmızı olma olasılığı” gibi ifadelerde artık ilk olay kesinleşmiştir. Bu durumda payda, kalan nesne sayısıdır; ilk olasılığı yeniden çarpmak gerekmez. Koşullu olasılık, verilen bilgiyi hesaba kattığı için bağımlı olay sorularının en sade çözüm yoludur. Soruyu okurken “biliniyor”, “veriliyor” gibi ifadeleri işaretlemek bu ayrımı görünür kılar.

Sıra önemliyse

“Önce kırmızı, sonra mavi” ile “bir kırmızı ve bir mavi” aynı şey değildir. İlkinde tek bir dizilim vardır; ikincisinde kırmızı-mavi ve mavi-kırmızı olmak üzere iki dizilim bulunur. Bu nedenle sıra belirtilmeyen sorularda bulduğunuz olasılığı dizilim sayısıyla çarpmanız gerekebilir. Sıra belirtilen soruda ise ek çarpma yapmak, sonucu gereğinden büyütür.

Sonucu kontrol etmek

Bulduğunuz olasılığın 0 ile 1 arasında kaldığını, tek bir olayın olasılığını geçmediğini kontrol edin. Bağımlı bir soruda ikinci paydanın azaldığını, bağımsız bir soruda değişmediğini not edin. Cevap seçeneklerinde 1’den büyük bir değer varsa işlem sırasında çarpma yerine toplama yapılmış olabilir.

Olasılık, sayma ve veri konuları için Matematik kategorisindeki diğer anlatımlara göz atabilirsiniz.

İlgili Makaleler

Kareköklü İfadede Eşlenik: Paydayı Rasyonelleştirme SırasıOndalık Sayıda Virgül Kaydırma: Çarpma ve Bölmede YönÜslü Sayıda Tanımsızlık: Hangi Durumda Sonuç Yoktur?Kesirli Denklemlerde Payda Temizleme: Hangi Sıra, Hangi Kısayol